1. Datos del problema:
Ecuación que relaciona el seno de una diferencia con la suma de senos individuales.

2. Fórmulas y propiedades:

• Seno de la diferencia: $\sin(x-a) = \sin x \cos a - \cos x \sin a$.


• Transformación de suma a producto: $\sin x + \sin a = 2 \sin\left(\frac{x+a}{2}\right) \cos\left(\frac{x-a}{2}\right)$.


• Ángulo mitad: $\sin(x-a) = 2 \sin\left(\frac{x-a}{2}\right) \cos\left(\frac{x-a}{2}\right)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos el lado izquierdo usando el ángulo doble (donde el ángulo es $x-a$):
$$ 2 \sin\left(\frac{x-a}{2}\right) \cos\left(\frac{x-a}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{x+a}{2}\right) \cos\left(\frac{x-a}{2}\right) $$

Igualamos a cero:
$$ 2 \cos\left(\frac{x-a}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x-a}{2}\right) - \sin\left(\frac{x+a}{2}\right) \right] = 0 $$

De aquí obtenemos dos ramas:

• Rama 1: $\cos\left(\frac{x-a}{2}\right) = 0$
  $$ \frac{x-a}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = a + \pi + 2k\pi $$
• Rama 2: $\sin\left(\frac{x-a}{2}\right) - \sin\left(\frac{x+a}{2}\right) = 0$
  $$ \sin\left(\frac{x-a}{2}\right) = \sin\left(\frac{x+a}{2}\right) $$
  Aplicando diferencia de senos:
  $$ 2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \sin\left(-\frac{a}{2}\right) = 0 $$
  Como $\sin(-a/2)$ depende de la constante $a$, si $\sin(a/2) \neq 0$, entonces $\cos(x/2) = 0$:
  $$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \pi + 2n\pi $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = (2k + 1)\pi + a \quad \cup \quad x = (2n + 1)\pi} $$