1. Datos del problema:
Ecuación lineal en términos de seno y coseno con un desplazamiento de fase de $\pi$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Reducción al primer cuadrante: $\cos(\pi + x) = -\cos x$.


• Identidad para $A \sin x + B \cos x = C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad de reducción:
$$ 12 \sin x - 4 \sqrt{3} \cos x = a \sqrt{3} $$

Dividimos toda la ecuación entre 4 para simplificar:
$$ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x = \frac{a \sqrt{3}}{4} $$

Dividimos ahora entre $\sqrt{3}$:
$$ \sqrt{3} \sin x - \cos x = \frac{a}{4} $$

Utilizamos el método del ángulo auxiliar. Dividimos entre $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = \frac{a}{8} $$

Reconocemos que $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, por tanto:
$$ \sin(x - 30^\circ) = \frac{a}{8} $$

Para que existan soluciones reales, se debe cumplir que $-8 \leq a \leq 8$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = 30^\circ + (-1)^k \arcsin\left(\frac{a}{8}\right) + k \cdot 180^\circ} $$