1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación con términos de ángulos múltiples ($2x$ y $4x$) igualada a una expresión con $\sin x$ y una constante $a$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la identidad de transformación de diferencia de cosenos a producto:
$$ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la identidad al lado izquierdo de la ecuación, donde $A = 2x$ y $B = 4x$:
$$ \begin{aligned} \cos 2x - \cos 4x &= -2 \sin\left(\frac{2x + 4x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x - 4x}{2}\right) \\ &= -2 \sin(3x) \sin(-x) \end{aligned} $$
Como $\sin(-x) = -\sin x$, la expresión se simplifica a:
$$ 2 \sin 3x \sin x = a \sin x $$

Igualamos a cero para factorizar:
$$ 2 \sin 3x \sin x - a \sin x = 0 $$
$$ \sin x (2 \sin 3x - a) = 0 $$

Esto nos da dos posibles soluciones:

• Caso 1: $\sin x = 0 \implies x = k\pi$, para $k \in \mathbb{Z}$.
• Caso 2: $2 \sin 3x - a = 0 \implies \sin 3x = \frac{a}{2}$.

Para el Caso 2, la solución existe si $|a/2| \leq 1$, es decir, $|a| \leq 2$:
$$ 3x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{a}{2}\right) + n\pi $$
$$ x = \frac{(-1)^n}{3} \arcsin\left(\frac{a}{2}\right) + \frac{n\pi}{3}, \text{ para } n \in \mathbb{Z} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = k\pi \quad \cup \quad x = \frac{(-1)^n}{3} \arcsin\left(\frac{a}{2}\right) + \frac{n\pi}{3}} $$