1. Aplicación de la función tangente:
Aplicamos la función tangente a ambos lados de la ecuación, utilizando la fórmula $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$:
$$ \frac{\tan(\arctan x) + \tan(\arctan \frac{1}{y})}{1 - \tan(\arctan x)\tan(\arctan \frac{1}{y})} = \tan(\arctan 3) $$
$$ \frac{x + \frac{1}{y}}{1 - \frac{x}{y}} = 3 $$

2. Simplificación algebraica:
Multiplicamos numerador y denominador por $y$ ($y \neq 0$):
$$ \frac{xy + 1}{y - x} = 3 $$
$$ xy + 1 = 3y - 3x $$
$$ xy + 3x - 3y + 1 = 0 $$

3. Factorización para hallar enteros:
Sumamos $-9$ a ambos lados para poder factorizar:
$$ x(y + 3) - 3(y + 3) + 9 + 1 = 0 $$
$$ (x - 3)(y + 3) = -10 $$
O bien:
$$ (3 - x)(y + 3) = 10 $$

4. Evaluación de divisores de 10:
Los pares de factores $(3-x, y+3)$ que multiplicados dan 10 son:
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
3-x & y+3 & x & y \\
\hline
1 & 10 & 2 & 7 \\
2 & 5 & 1 & 2 \\
5 & 2 & -2 & -1 \\
10 & 1 & -7 & -2 \\
-1 & -10 & 4 & -13 \\
-2 & -5 & 5 & -8 \\
-5 & -2 & 8 & -5 \\
-10 & -1 & 13 & -4 \\
\hline
\end{array}

5. Verificación de condiciones de arctan:
Debemos verificar que la suma de los ángulos no exceda el rango de la función. Para $x=1, y=2$: $\arctan 1 + \arctan(1/2) \approx 45^\circ + 26.5^\circ = 71.5^\circ$. $\arctan 3 \approx 71.5^\circ$. (Correcto).
Sin embargo, para valores negativos, debemos tener cuidado. Por ejemplo, si $x=2, y=7$: $\arctan 2 + \arctan(1/7) \approx 63.4 + 8.1 = 71.5$.
Las soluciones negativas como $x=-2, y=-1$ darían resultados negativos, lo cual es imposible ya que $\arctan 3 > 0$.

Revisando pares $(x,y)$: $(2,7), (1,2), (4,-13), (5,-8), (8,-5), (13,-4)$.

Resultado final:
$$ \boxed{(1,2), (2,7), (4,-13), (5,-8), (8,-5), (13,-4)} $$