1. Análisis de factores:
Analizaremos el valor mínimo de cada paréntesis en el lado izquierdo.

• Factor 1: $A = \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Por la desigualdad de medias (MA-MG), para cualquier número positivo $u + \frac{1}{u} \geq 2$. Aquí $u = \cos^2 x$.
Por lo tanto, $A \geq 2$. La igualdad ocurre si $\cos^2 x = 1$.

• Factor 2: $B = 1 + \tan^2 2y$.

Como $\tan^2 2y \geq 0$, entonces $B \geq 1$. La igualdad ocurre si $\tan 2y = 0$.

• Factor 3: $C = 3 + \sin 3z$.

Como $-1 \leq \sin 3z \leq 1$, entonces $2 \leq 3 + \sin 3z \leq 4$. El valor mínimo es $C \geq 2$. La igualdad ocurre si $\sin 3z = -1$.

2. Producto de los mínimos:
Si multiplicamos los valores mínimos de cada factor:
$$ A \cdot B \cdot C \geq 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 $$

3. Condición de igualdad:
Para que el producto sea exactamente 4, cada factor debe tomar su valor mínimo simultáneamente:
1) $\cos^2 x = 1 \implies x = n\pi$
2) $\tan^2 2y = 0 \implies 2y = k\pi \implies y = \frac{k\pi}{2}$
3) $\sin 3z = -1 \implies 3z = 2m\pi - \frac{\pi}{2} \implies z = \frac{2m\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$

Donde $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

Resultado final:
$$ \boxed{x = n\pi; \quad y = \frac{k\pi}{2}; \quad z = \frac{2m\pi}{3} - \frac{\pi}{6}; \quad n, k, m \in \mathbb{Z}} $$