1. Acotamiento del lado izquierdo ($L_1$):
Sea $L_1 = 4 + \sin^2 x + \cos^2 2x$.
Sabemos que $0 \leq \sin^2 x \leq 1$ y $0 \leq \cos^2 2x \leq 1$.
Por lo tanto, el valor mínimo de $L_1$ ocurre cuando $\sin^2 x = 0$ y $\cos^2 2x = 0$.
Sin embargo, analicemos si pueden ser cero al mismo tiempo. Si $\sin^2 x = 0$, entonces $x = n\pi$. Si $x = n\pi$, entonces $\cos 2x = \cos(2n\pi) = 1$, por lo que $\cos^2 2x = 1$.
Si $\sin^2 x = 1$, entonces $L_1 = 4 + 1 + \cos^2 2x = 5 + \cos^2 2x \geq 5$.

2. Acotamiento del lado derecho ($L_2$):
Sea $L_2 = 5 \sin^2 x \sin^2 y$.
Puesto que $\sin^2 x \leq 1$ y $\sin^2 y \leq 1$, entonces:
$$ L_2 \leq 5(1)(1) = 5 $$

3. Igualación por extremos:
Para que $L_1 = L_2$, dado que $L_1$ tiende a ser $\geq 5$ (específicamente cuando $\sin^2 x=1$) y $L_2 \leq 5$, la única solución posible es que ambos sean iguales a $5$.
Para que $L_2 = 5$:
$$ \sin^2 x = 1 \quad \text{y} \quad \sin^2 y = 1 $$
Si $\sin^2 x = 1$, veamos si $L_1$ también es 5:
$$ L_1 = 4 + 1 + \cos^2 2x = 5 + \cos^2 2x $$
Para que $L_1 = 5$, se requiere $\cos^2 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$.
Si $\sin^2 x = 1$, usamos la identidad $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$$ \cos 2x = 1 - 2(1) = -1 \implies \cos^2 2x = 1 $$
Esto nos daría $L_1 = 6$, lo cual contradice $L_2 = 5$.

4. Re-evaluación:
Si $\sin^2 x < 1$, entonces $L_2 < 5 \sin^2 y \leq 5$.
Si $\sin^2 x = 0$, entonces $L_1 = 4 + 0 + 1 = 5$ y $L_2 = 0$. No hay solución.
Analizando $L_1 = 4 + \sin^2 x + (1 - 2\sin^2 x)^2 = 4 + \sin^2 x + 1 - 4\sin^2 x + 4\sin^4 x = 4\sin^4 x - 3\sin^2 x + 5$.
Para que esto sea igual a $5\sin^2 x \sin^2 y$:
$4\sin^4 x - 3\sin^2 x + 5 = 5\sin^2 x \sin^2 y$.
Dividiendo entre $\sin^2 x$ (asumiendo $\sin x \neq 0$):
$4\sin^2 x - 3 + \frac{5}{\sin^2 x} = 5\sin^2 y$.
El lado izquierdo $f(a) = 4a - 3 + 5/a$ con $a = \sin^2 x \in (0,1]$.
El mínimo de $4a + 5/a$ para $a \in (0,1]$ ocurre en $a=1$, valiendo $9$.
$9 - 3 = 6$. Por tanto $L.I \geq 6$. Pero $L.D \leq 5$.
No existe solución real.

Resultado final:
$$ \boxed{\emptyset \text{ (No existe solución en reales)}} $$