1. Reordenamiento de la ecuación:
Podemos ver la ecuación como una cuadrática en términos de $x$:
$$ x^2 + (2 \sin xy)x + 1 = 0 $$

Para que existan soluciones reales para $x$, el discriminante ($\Delta$) de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ debe ser mayor o igual a cero:
$$ \Delta = b^2 - 4ac = (2 \sin xy)^2 - 4(1)(1) = 4 \sin^2 xy - 4 $$

2. Análisis del discriminante:
Requerimos que $\Delta \geq 0$:
$$ 4 \sin^2 xy - 4 \geq 0 \implies \sin^2 xy \geq 1 $$
Dado que el valor máximo de la función $\sin \theta$ es $1$ (y el mínimo $-1$), la única forma de que $\sin^2 xy \geq 1$ es que:
$$ \sin^2 xy = 1 \implies \sin xy = 1 \quad \text{o} \quad \sin xy = -1 $$

3. Sustitución de los casos:
Caso 1: $\sin xy = 1$
Sustituyendo en la ecuación original: $x^2 + 2x(1) + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1$.
Sustituyendo $x = -1$ en $\sin xy = 1$: $\sin(-y) = 1 \implies -\sin y = 1 \implies \sin y = -1$.
$$ y = 2k\pi - \frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Caso 2: $\sin xy = -1$
Sustituyendo en la ecuación original: $x^2 + 2x(-1) + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$.
Sustituyendo $x = 1$ en $\sin xy = -1$: $\sin y = -1$.
$$ y = 2k\pi - \frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Resultado final:
$$ \boxed{(x = 1 \text{ o } x = -1); \quad y = 2k\pi - \frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}} $$