1. Análisis de la estructura de la ecuación:
Observamos que el lado izquierdo de la ecuación tiene la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Recordemos la identidad $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Si hacemos $a = \tan 2x$ y $b = \sqrt{3}$, tenemos:
$$ (\tan 2x + \sqrt{3})^2 = \tan^2 2x + 2\sqrt{3} \tan 2x + 3 $$

Sustituyendo esto en la ecuación original:
$$ (\tan 2x + \sqrt{3})^2 = -\cot^2 \left( 4y - \frac{\pi}{6} \right) $$

2. Análisis de rangos (Restricción de valores reales):

• El término $(\tan 2x + \sqrt{3})^2$ es un cuadrado perfecto, por lo tanto, siempre debe ser mayor o igual a cero: $(\tan 2x + \sqrt{3})^2 \geq 0$.


• El término $\cot^2 \left( 4y - \frac{\pi}{6} \right)$ también es un cuadrado, lo que significa que $\cot^2 (\dots) \geq 0$. Al tener un signo negativo delante, el lado derecho debe ser menor o igual a cero: $-\cot^2 \left( 4y - \frac{\pi}{6} \right) \leq 0$.

Para que se cumpla la igualdad entre algo $\geq 0$ y algo $\leq 0$, la única posibilidad es que ambos lados sean simultáneamente iguales a cero:
$$ (\tan 2x + \sqrt{3})^2 = 0 \quad \text{y} \quad -\cot^2 \left( 4y - \frac{\pi}{6} \right) = 0 $$

3. Resolución para $x$:
$$ \tan 2x + \sqrt{3} = 0 \implies \tan 2x = -\sqrt{3} $$
Sabemos que $\tan(-\pi/3) = -\sqrt{3}$. La solución general es:
$$ 2x = n\pi - \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z} $$

4. Resolución para $y$:
$$ \cot \left( 4y - \frac{\pi}{6} \right) = 0 $$
La cotangente es cero cuando el ángulo es de la forma $\frac{\pi}{2} + k\pi$:
$$ 4y - \frac{\pi}{6} = k\pi + \frac{\pi}{2} \implies 4y = k\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} $$
$$ 4y = k\pi + \frac{4\pi}{6} \implies 4y = k\pi + \frac{2\pi}{3} \implies y = \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{6}; \quad y = \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{6}; \quad n, k \in \mathbb{Z}} $$