1. Análisis de extremos:
Analizaremos el lado izquierdo de la ecuación ($L$). Sea $a = \sin^2 x$ y $b = \cos^2 x$, con $a+b = 1$.
$L = (a + \frac{1}{a})^2 + (b + \frac{1}{b})^2$.
Expandiendo:
$$ L = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} + b^2 + 2 + \frac{1}{b^2} = a^2 + b^2 + 4 + \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} $$
Como $a^2 + b^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$:
Utilizando la desigualdad de la media aritmética y geométrica o calculando el mínimo, se encuentra que el valor mínimo de $L$ ocurre cuando $\sin^2 x = \cos^2 x = \frac{1}{2}$.
En dicho punto:
$L_{min} = ( \frac{1}{2} + 2 )^2 + ( \frac{1}{2} + 2 )^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{50}{4} = 12.5$

2. Análisis del lado derecho ($R$):
$R = 12 + \frac{1}{2} \sin y$.
Dado que $-1 \leq \sin y \leq 1$, el valor máximo de $R$ es:
$R_{max} = 12 + \frac{1}{2}(1) = 12.5$

3. Igualación:
La única forma de que $L = R$ es que $L$ tome su valor mínimo y $R$ su valor máximo:
$12.5 = 12.5$
Esto sucede cuando:
$\sin^2 x = \frac{1}{2} \implies \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
$\sin y = 1 \implies y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi} $$