1. Propiedad de suma de cuadrados:
La ecuación tiene la forma $A^2 + B^2 = 0$. En el campo de los números reales, esto solo ocurre si y solo si $A = 0$ y $B = 0$ simultáneamente.

2. Desarrollo del sistema:
Establecemos las dos condiciones:

1. $\sin^2 (\pi x) = 0 \implies \sin(\pi x) = 0$
2. $\log_{2}^2 (y^2 - 2y + 1) = 0 \implies \log_{2} (y^2 - 2y + 1) = 0$

Para la primera condición:
$$ \sin(\pi x) = 0 \implies \pi x = k\pi \implies x = k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Para la segunda condición:
Recordamos que $\log_b(a) = 0$ si $a = 1$:
$$ y^2 - 2y + 1 = 1 $$
Simplificamos:
$$ y^2 - 2y = 0 \implies y(y - 2) = 0 $$
Esto nos da dos soluciones para $y$: $y = 0$ o $y = 2$.
Es importante verificar que el argumento del logaritmo sea mayor a cero:
Si $y=0 \implies 0^2 - 0 + 1 = 1 > 0$ (Válido).
Si $y=2 \implies 2^2 - 2(2) + 1 = 1 > 0$ (Válido).

3. Resultado:
$$ \boxed{x \in \mathbb{Z}, \quad y \in \{0, 2\}} $$