1. Análisis de la ecuación:
La ecuación es $\cos(x - y) - 2(\sin x - \sin y) = 3$.
Dado que el valor máximo de la función coseno es $1$ y el valor máximo de la expresión $-2(\sin x - \sin y)$ ocurre cuando $(\sin x - \sin y) = -1$, analizaremos los valores extremos.

2. Desarrollo:
Sabemos que:
$-1 \leq \cos(x - y) \leq 1$
$-1 \leq \sin x \leq 1$
$-1 \leq \sin y \leq 1$

Para que la suma sea $3$, la única posibilidad en este tipo de estructuras de valores acotados es que cada componente alcance su valor extremo compatible:
\begin{aligned} \cos(x - y) &= 1 \\ -2 \sin x &= 1 \implies \sin x = -1 \\ 2 \sin y &= 1 \implies \sin y = 1 \end{aligned}

Verificamos la suma: $1 - 2(-1) + 2(1) = 1 + 2 + 2 = 5$ (No cumple).
Por tanto, analicemos nuevamente la expresión: $\cos(x-y) - 2\sin x + 2\sin y = 3$.
Si $\sin x = -1$, entonces $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Si $\sin y = 1$, entonces $y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.
Probamos con estos valores en el coseno:
$$ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right) = \cos(\pi) = -1 $$
Sustituyendo: $-1 - 2(-1) + 2(1) = -1 + 2 + 2 = 3$.

3. Resultado:
Los valores que satisfacen la ecuación son:
$$ \boxed{\begin{cases} x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \\ y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \end{cases}} $$
Donde $k, n \in \mathbb{Z}$.