1. Datos y valores conocidos:
La ecuación involucra funciones trigonométricas inversas y valores notables:

• $\tan \frac{\pi}{4} = 1$
• $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ (ya que $\sin \frac{\pi}{2} = 1$)

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el valor de $\tan \frac{\pi}{4}$ en la ecuación original:
$$ \arcsin(1) - \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0 $$

Reemplazamos $\arcsin(1)$ por su valor en radianes:
$$ \frac{\pi}{2} - \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0 $$

Agrupamos los términos constantes para despejar el término con la incógnita:
$$ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} $$

Realizamos la resta de fracciones:
$$ \frac{3\pi - \pi}{6} = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} \implies \frac{2\pi}{6} = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} \implies \frac{\pi}{3} = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} $$

Aplicamos la función seno a ambos lados de la igualdad para eliminar el arcoseno:
$$ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{\frac{3}{x}} $$

Sabemos que $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{\frac{3}{x}} $$

Elevamos ambos miembros al cuadrado para despejar $x$:
$$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left( \sqrt{\frac{3}{x}} \right)^2 \implies \frac{3}{4} = \frac{3}{x} $$

Multiplicamos en cruz o simplificamos el numerador:
$$ 3x = 12 \implies x = \frac{12}{3} $$

3. Resultado:
$$ \boxed{x = 4} $$