1. Análisis de datos y restricciones:
Para que las funciones inversas estén definidas, los argumentos deben pertenecer al intervalo $[-1, 1]$:

• $-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1 \implies -2 \leq x \leq 2$
• $-1 \leq x + \frac{\sqrt{3}}{2} \leq 1 \implies -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Transformación de la ecuación:
Sea $\alpha = \arcsin \frac{x}{2}$, entonces $\sin \alpha = \frac{x}{2}$.
Reescribimos la ecuación como:
$$ \arccos \left( x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6} - \alpha $$
Aplicamos la función coseno a ambos lados:
$$ x + \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Usamos la identidad del coseno de la diferencia: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:
$$ x + \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha $$
Sustituimos los valores conocidos $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, además de $\sin \alpha = \frac{x}{2}$ y $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}$:
$$ \begin{aligned} x + \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \right) \\ x + \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} + \frac{x}{4} \\ x - \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\sqrt{3} \sqrt{4 - x^2}}{4} \\ \frac{3x + 2\sqrt{3}}{4} &= \frac{\sqrt{3} \sqrt{4 - x^2}}{4} \end{aligned} $$
Multiplicamos por 4 y elevamos al cuadrado:
$$ (3x + 2\sqrt{3})^2 = 3(4 - x^2) $$
$$ 9x^2 + 12\sqrt{3}x + 12 = 12 - 3x^2 $$
$$ 12x^2 + 12\sqrt{3}x = 0 $$
$$ 12x(x + \sqrt{3}) = 0 $$

4. Resultado final:
Las soluciones posibles son $x_1 = 0$ y $x_2 = -\sqrt{3}$. Verificando en la ecuación original:
Si $x = 0$: $\arcsin(0) + \arccos(\sqrt{3}/2) = 0 + \pi/6 = \pi/6$ (Correcto).
Si $x = -\sqrt{3}$: $\arcsin(-\sqrt{3}/2) + \arccos(0) = -\pi/3 + \pi/2 = \pi/6$ (Correcto).
$$ \boxed{x = \{0, -\sqrt{3}\}} $$