1. Datos del problema:
Relación entre el doble de un arcoseno y un arcocoseno.

2. Fórmulas y propiedades:
$\cos(2 \arcsin x) = 1 - 2x^2$.

3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la función coseno a ambos lados de la igualdad:
$$ \cos(2 \arcsin x) = \cos(\arccos 2x) $$
Por las propiedades de las funciones trigonométricas e inversas:
$$ 1 - 2x^2 = 2x $$
Reordenamos para formar una ecuación cuadrática:
$$ 2x^2 + 2x - 1 = 0 $$
Resolvemos mediante la fórmula general:
$$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} $$
Dado que $\arcsin x$ y $\arccos 2x$ deben tener valores consistentes con sus rangos:
Evaluamos $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \approx 0.366$ (Válida).
Evaluamos $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.366$ (Fuera del dominio $[-1, 1]$ de $\arcsin x$).

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} $$