1. Datos del problema:
Ecuación que involucra $\arctan x$ y $\text{arccot } x$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la identidad fundamental de funciones inversas:
$$ \arctan x + \text{arccot } x = \frac{\pi}{2} \implies \text{arccot } x = \frac{\pi}{2} - \arctan x $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad en la ecuación original:
$$ 4 \arctan x - 6 \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right) = \pi $$
Expandimos y simplificamos:
$$ \begin{aligned} 4 \arctan x - 3\pi + 6 \arctan x &= \pi \\ 10 \arctan x &= 4\pi \\ \arctan x &= \frac{4\pi}{10} \\ \arctan x &= \frac{2\pi}{5} \end{aligned} $$
Despejamos $x$ aplicando la función tangente en ambos lados:
$$ x = \tan\left(\frac{2\pi}{5}\right) $$
Calculando el valor exacto de $\tan(72^\circ)$:
$$ x = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}} $$