1. Datos e identificación de identidades:
La ecuación involucra funciones cuadráticas del seno y el coseno de un argumento compuesto. Utilizaremos las siguientes identidades fundamentales:

• Identidad del ángulo mitad/doble: $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \implies 2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$.
• Identidad de Pitágoras: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
• Identidad del ángulo doble: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

2. Transformación del primer miembro:
Aplicamos la identidad $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ donde $\theta = \frac{\pi}{2} \cos^2 x$:
$$ 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right) = 1 - \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right) = 1 - \cos (\pi \cos^2 x) $$

3. Igualación y simplificación:
Sustituimos en la ecuación original:
$$ 1 - \cos (\pi \cos^2 x) = 1 - \cos (\pi \sin 2x) $$
Restando 1 en ambos lados y multiplicando por $-1$:
$$ \cos (\pi \cos^2 x) = \cos (\pi \sin 2x) $$

4. Resolución de la igualdad de cosenos:
Para que $\cos A = \cos B$, se debe cumplir que $A = 2k\pi \pm B$, donde $k \in \mathbb{Z}$. Analizamos el caso general simplificado para soluciones principales:
$$ \pi \cos^2 x = \pi \sin 2x + 2k\pi $$
Dividiendo entre $\pi$:
$$ \cos^2 x = \sin 2x + 2k $$
Como el rango de $\cos^2 x$ es $[0, 1]$ y el de $\sin 2x$ es $[-1, 1]$, la única posibilidad para $k$ es $k=0$ o valores que permitan la intersección. Probamos $k=0$:
$$ \cos^2 x = 2 \sin x \cos x $$
$$ \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 0 \implies \cos x (\cos x - 2 \sin x) = 0 $$

5. Hallando las raíces:

1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
2. $\cos x - 2 \sin x = 0 \implies 1 = 2 \tan x \implies \tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + n\pi$

Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad \text{o} \quad x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}} $$