1. Datos del problema:
Igualdad entre una potencia sexta de coseno y una potencia cuarta de seno.

2. Análisis de rangos:

• Para cualquier $\theta$, $0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$, por lo tanto $0 \leq \cos^6 2x \leq 1$.
• Para cualquier $\theta$, $\sin^4 \theta \geq 0$, por lo tanto $1 + \sin^4 x \geq 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
La única forma de que un valor que es "como máximo 1" sea igual a un valor que es "como mínimo 1" es que ambos sean exactamente 1.
$$ \cos^6 2x = 1 \quad \text{y} \quad 1 + \sin^4 x = 1 $$

De la segunda igualdad:
$$ 1 + \sin^4 x = 1 \implies \sin^4 x = 0 \implies \sin x = 0 $$
Esto ocurre cuando $x = n\pi$ para $n \in \mathbb{Z}$.

Verificamos si estos valores de $x$ cumplen la primera igualdad $\cos^6 2x = 1$:
Si $x = n\pi$, entonces $2x = 2n\pi$.
$$ \cos(2n\pi) = 1 $$
Elevando a la sexta:
$$ (1)^6 = 1 $$
La condición se cumple para todos los $x = n\pi$.

4. Resultado:
$$ \boxed{x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}} $$