1. Datos del problema:
Ecuación que relaciona la suma de seno y coseno con una potencia cuarta de seno.

2. Propiedades usadas:

• Transformación de suma a producto: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$
• Rango de la función seno: $-1 \leq \sin \theta \leq 1$

3. Desarrollo paso a paso:
Reescribimos el lado izquierdo ($LI$):
$$ LI = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) $$
Sabemos que el valor máximo de $\sin(x + \frac{\pi}{4})$ es $1$. Por lo tanto, el valor máximo de $LI$ es $\sqrt{2}$.
$$ LI \leq \sqrt{2} $$

Analizamos el lado derecho ($LD$):
$$ LD = \sqrt{2} + \sin^4 4x $$
Dado que $\sin^4 4x \geq 0$, el valor mínimo de $LD$ ocurre cuando $\sin^4 4x = 0$, lo que nos da $\sqrt{2}$.
$$ LD \geq \sqrt{2} $$

Para que $LI = LD$, ambos deben ser exactamente $\sqrt{2}$. Esto genera un sistema de ecuaciones:
1) $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$
2) $\sin^4 4x = 0 \implies \sin 4x = 0$

De la ecuación (1):
$$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi $$

Verificamos en la ecuación (2) para $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$:
$$ \sin(4(\frac{\pi}{4} + 2k\pi)) = \sin(\pi + 8k\pi) = \sin(\pi) = 0 $$
La solución es consistente.

4. Resultado:
$$ \boxed{x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}} $$