1. Datos del problema:
Ecuación mixta que involucra términos algebraicos de potencias pares y una función trigonométrica al cuadrado.

2. Propiedades de potencias pares:
Para cualquier número real $a$:

• $a^{2n} \geq 0$
• $-a^2 \leq 0$

3. Desarrollo paso a paso:
Analizamos el lado izquierdo de la ecuación ($LI$):
$$ LI = 4x^4 + x^6 $$
Dado que $x^4 \geq 0$ y $x^6 \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, entonces $LI \geq 0$. El valor mínimo de $LI$ es $0$, que ocurre únicamente si $x = 0$.

Analizamos el lado derecho de la ecuación ($LD$):
$$ LD = -\sin^2 5x $$
Dado que el cuadrado de cualquier número real es no negativo ($\sin^2 5x \geq 0$), el valor de $-\sin^2 5x$ siempre será menor o igual a cero ($LD \leq 0$).

Para que se cumpla la igualdad $LI = LD$, la única posibilidad es que ambos lados sean simultáneamente iguales a cero:
$$ 4x^4 + x^6 = 0 \quad \text{y} \quad -\sin^2 5x = 0 $$

De la primera condición:
$$ x^4(4 + x^2) = 0 \implies x = 0 $$
(Nota: $4 + x^2$ nunca es cero en los reales).

Verificamos si $x = 0$ satisface la segunda condición:
$$ -\sin^2(5 \cdot 0) = -\sin^2(0) = 0 $$

La condición se cumple perfectamente.

4. Resultado:
$$ \boxed{x = 0} $$