1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación con funciones de ángulo doble $2x$. El objetivo es hallar los valores de $x$ que satisfacen la igualdad.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad fundamental: $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$
• Identidad de ángulo triple (forma alternativa): $\cos 3\theta = \cos \theta (4\cos^2 \theta - 3)$

3. Desarrollo paso a paso:
Para facilitar el cálculo, definimos un cambio de variable: $u = 2x$. La ecuación queda:
$$ \cos u \left( 1 - \frac{3}{4} \sin^2 u \right) = 1 $$

Multiplicamos toda la ecuación por $4$ para eliminar la fracción:
$$ 4 \cos u (1 - \frac{3}{4} \sin^2 u) = 4 $$
$$ \cos u (4 - 3 \sin^2 u) = 4 $$

Sustituimos $\sin^2 u = 1 - \cos^2 u$:
$$ \begin{aligned} \cos u (4 - 3(1 - \cos^2 u)) &= 4 \\ \cos u (4 - 3 + 3 \cos^2 u) &= 4 \\ \cos u (1 + 3 \cos^2 u) &= 4 \\ 3 \cos^3 u + \cos u - 4 &= 0 \end{aligned} $$

Sea $z = \cos u$. Tenemos la ecuación cúbica: $3z^3 + z - 4 = 0$.
Observamos que $z = 1$ es una raíz, ya que $3(1)^3 + (1) - 4 = 0$. Factorizando por Ruffini o división sintética:
$$ (z - 1)(3z^2 + 3z + 4) = 0 $$

Analizamos el segundo factor $3z^2 + 3z + 4$. Su discriminante es:
$$ \Delta = 3^2 - 4(3)(4) = 9 - 48 = -39 $$
Como $\Delta < 0$, no existen más raíces reales. Por lo tanto:
$$ z = 1 \implies \cos u = 1 $$

Volviendo a la variable original $u = 2x$:
$$ \cos 2x = 1 $$
El coseno es igual a $1$ en los ángulos $2k\pi$ para cualquier entero $k$.
$$ 2x = 2k\pi \implies x = k\pi $$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$