1. Análisis de los rangos de cada lado de la ecuación:
Analicemos el lado izquierdo ($L_I$) y el lado derecho ($L_D$):

• $L_I = \sin 18x + \sin 10x + \sin 2x$. Dado que $-1 \le \sin \theta \le 1$, el valor máximo posible de $L_I$ es $1 + 1 + 1 = 3$.


• $L_D = 3 + \cos^2 2x$. Dado que $0 \le \cos^2 2x \le 1$, el valor mínimo posible de $L_D$ es $3 + 0 = 3$.

2. Establecimiento de la igualdad:
Para que $L_I = L_D$, la única posibilidad es que ambos lados sean iguales a $3$:

• $L_I = 3 \implies \sin 18x = 1, \sin 10x = 1, \sin 2x = 1$.


• $L_D = 3 \implies \cos^2 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$.

3. Verificación de consistencia:
Si $\sin 2x = 1$, entonces por la identidad fundamental $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$ 1^2 + \cos^2 2x = 1 \implies \cos^2 2x = 0 $$
Esto es consistente con la condición de $L_D$.

4. Resolución de las condiciones de seno:

• $\sin 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Ahora verificamos si este valor de $x$ cumple $\sin 10x = 1$:
$$ \sin(10(\frac{\pi}{4} + k\pi)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 10k\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi + 10k\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \quad (\text{Correcto}) $$

Verificamos si cumple $\sin 18x = 1$:
$$ \sin(18(\frac{\pi}{4} + k\pi)) = \sin(\frac{9\pi}{2} + 18k\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + 4\pi + 18k\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \quad (\text{Correcto}) $$

5. Resultado final:
Como todas las condiciones se cumplen simultáneamente para $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4}(1 + 4k), \quad k \in \mathbb{Z}} $$