1. Análisis de amplitudes:
Analizamos los valores límites de cada función:

• El valor máximo de $\sin \frac{x}{4}$ es $1$.


• El valor máximo de $2 \cos \frac{x - 2\pi}{3}$ es $2$.

2. Condición de suma máxima:
La única forma de que la suma sea exactamente $3$ es que ambas funciones alcancen su valor máximo individualmente al mismo tiempo:

• $\sin \frac{x}{4} = 1 \implies \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = 2\pi + 8k\pi$


• $\cos \frac{x - 2\pi}{3} = 1 \implies \frac{x - 2\pi}{3} = 2n\pi \implies x - 2\pi = 6n\pi \implies x = 2\pi + 6n\pi$

3. Intersección de soluciones:
Buscamos $x$ tal que:
$$ x = 2\pi + 8k\pi = 2\pi + 6n\pi $$
$$ 8k = 6n \implies 4k = 3n $$
Para que esta igualdad se cumpla con $k, n \in \mathbb{Z}$, $k$ debe ser múltiplo de $3$ ($k = 3m$).

4. Sustitución para la solución general:
Si $k = 3m$:
$$ x = 2\pi + 8(3m)\pi = 2\pi + 24m\pi $$

5. Resultado:
$$ \boxed{x = 2\pi(1 + 12m), \quad m \in \mathbb{Z}} $$