1. Análisis de valores máximos y mínimos:
La función seno y coseno tienen como rango el intervalo $[-1, 1]$.

• El valor máximo de $2 \sin(\alpha)$ es $2$.


• El valor mínimo de $-3 \cos(\beta)$ es $-3(-1) = 3$.

2. Condición para la suma:
Para que la suma $2 \sin(\alpha) - 3 \cos(\beta)$ sea igual a $5$, ambos términos deben alcanzar simultáneamente sus valores máximos:
$$ 2 \sin \left( \frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6} \right) = 2 \implies \sin \left( \frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6} \right) = 1 $$
$$ -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 3 \implies \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = -1 $$

3. Resolución del sistema de ecuaciones:
De la primera condición:
$$ \frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{2}{3}x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \pi + 3k\pi $$
De la segunda condición:
$$ 2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2n\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + n\pi $$

4. Búsqueda de soluciones comunes:
Igualamos los valores de $x$:
$$ \pi(1 + 3k) = \pi\left(\frac{1}{3} + n\right) \implies 1 + 3k = \frac{1}{3} + n \implies n = 3k + \frac{2}{3} $$
Como $n$ y $k$ deben ser números enteros, y $3k + \frac{2}{3}$ nunca resultará en un entero, no existe un valor de $x$ que satisfaga ambas condiciones al mismo tiempo.

5. Resultado:
$$ \boxed{\nexists x \in \mathbb{R} \quad (\text{Sin solución})} $$