1. Identificación de datos y propiedades:
Observamos que la expresión $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ puede simplificarse usando la identidad del ángulo compuesto para la función seno. Recordamos que:
$$ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi), \quad \text{donde } \tan \phi = \frac{b}{a} $$

2. Transformación del primer factor:
Para $1 \sin x + \sqrt{3} \cos x$, tenemos:

• Amplitud: $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.


• Ángulo de fase: $\tan \phi = \sqrt{3} \implies \phi = \frac{\pi}{3}$.

Entonces:
$$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) $$

3. Sustitución en la ecuación original:
$$ 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 3x = 2 $$
Dividiendo entre 2:
$$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 3x = 1 $$

4. Análisis de la condición de igualdad:
Para que el producto de dos senos sea igual a 1, dado que el rango de la función seno es $[-1, 1]$, existen dos casos posibles:

• Caso 1: $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ y $\sin 3x = 1$


• Caso 2: $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = -1$ y $\sin 3x = -1$

Resolviendo Caso 1:

• $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$


• $3x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$

Para $k=0$ y $n=0$, $x = \frac{\pi}{6}$ es una solución común.

Resolviendo Caso 2:

• $x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$


• $3x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{2n\pi}{3}$

Probamos valores: si $x = \frac{7\pi}{6}$, entonces $3(\frac{7\pi}{6}) = \frac{7\pi}{2}$, que equivale a $\frac{3\pi}{2}$ (mismo punto en el círculo), por lo que $\sin(\frac{7\pi}{2}) = -1$. Esta es otra solución.

5. Conclusión:
Las soluciones generales se pueden expresar como:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi} $$