1. Análisis de rangos (cotas)
Analicemos el miembro derecho (MD):
$$ MD = 2 + \cos^2 x $$
Como $0 \le \cos^2 x \le 1$, entonces $2 \le MD \le 3$. El valor mínimo es $2$.

Analicemos el miembro izquierdo (MI):
$$ MI = \sin 5x + \sin x $$
Dado que el valor máximo de cualquier seno es $1$, el valor máximo de la suma es $1 + 1 = 2$.

2. Condición de igualdad
Para que $MI = MD$, ambos deben ser exactamente igual a $2$.
Esto ocurre si y solo si:
$$ \sin 5x = 1, \quad \sin x = 1, \quad \cos^2 x = 0 $$

De $\sin x = 1$:
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

3. Verificación
Si $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$:

• $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \Rightarrow \cos^2 x = 0$ (Cumple)
• $\sin 5x = \sin(5(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 10k\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (Cumple)

$$ \boxed{x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}} $$