1. Análisis de potencias de senos y cosenos
Recordamos las identidades auxiliares:

• $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
• $\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$

Sustituimos en la ecuación original:
$$ (1 - 3\sin^2 x \cos^2 x) + (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) + \sin \frac{x}{2} = 3 $$
$$ 2 - 5\sin^2 x \cos^2 x + \sin \frac{x}{2} = 3 $$
$$ \sin \frac{x}{2} - 5(\sin x \cos x)^2 = 1 $$

2. Uso del ángulo doble
Sabemos que $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$:
$$ \sin \frac{x}{2} - 5\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = 1 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} - \frac{5}{4}\sin^2 2x = 1 $$

3. Evaluación de valores máximos
Dado que el valor máximo de $\sin \frac{x}{2}$ es $1$ y el valor mínimo de $-\frac{5}{4}\sin^2 2x$ es $-\frac{5}{4}$, la única forma de que la suma sea $1$ es que:
$$ \sin \frac{x}{2} = 1 \quad \text{y} \quad \sin 2x = 0 $$

Para $\sin \frac{x}{2} = 1$:
$$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \pi + 4k\pi $$

Verificamos en $\sin 2x$:
$$ \sin(2(\pi + 4k\pi)) = \sin(2\pi + 8k\pi) = 0 $$
La condición se cumple.

$$ \boxed{x = (4k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}} $$