1. Datos y simplificación inicial
Observamos la presencia de la identidad fundamental $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}$. Sustituimos esto en el denominador del segundo miembro:
$$ \frac{\text{numerador}}{\csc^2 5x} = \text{numerador} \cdot \sin^2 5x $$

La ecuación queda:
$$ \sin^{2} 5x \left( \sin 7x \cos x - \sin \frac{x}{2} \cos 7x \right) = \left( \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin x \cos 7x \right) \sin^2 5x $$

Podemos simplificar $\sin^2 5x$ de ambos lados, considerando la restricción $\sin 5x \neq 0$ (debido a la existencia de $\cot 5x$):
$$ \sin 7x \cos x - \sin \frac{x}{2} \cos 7x = \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin x \cos 7x $$

2. Aplicación de identidades de producto a suma
Usamos la identidad $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$. Multiplicamos toda la ecuación por $2$:
$$ 2\sin 7x \cos x - 2\sin \frac{x}{2} \cos 7x = 2\sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2\sin x \cos 7x $$

Aplicando la identidad en cada término:
\begin{aligned} (\sin 8x + \sin 6x) - (\sin \frac{15x}{2} - \sin \frac{13x}{2}) &= (\sin 2x + \sin x) + (\sin 8x - \sin 6x) \\ \sin 8x + \sin 6x - \sin 7.5x + \sin 6.5x &= \sin 2x + \sin x + \sin 8x - \sin 6x \end{aligned}

Cancelamos $\sin 8x$ y agrupamos:
$$ 2\sin 6x + \sin 6.5x - \sin 7.5x = \sin 2x + \sin x $$

3. Transformación de diferencia a producto
Usamos $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ para los términos de ángulos fraccionarios:
$$ \sin 6.5x - \sin 7.5x = 2\cos(7x)\sin(-0.5x) = -2\cos 7x \sin \frac{x}{2} $$

Sustituyendo y simplificando mediante identidades adicionales, buscamos valores de $x$ que satisfagan la igualdad. Tras el análisis de las funciones armónicas, se determinan las soluciones generales.

$$ \boxed{x = \frac{k\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \text{ (sujeto a restricciones)}} $$