1. Simplificación del lado izquierdo (LI):
Usamos la identidad $\tan(A-B)\tan(A+B) = \frac{\tan^2 A - \tan^2 B}{1 - \tan^2 A \tan^2 B}$.
Para $B = \frac{\pi}{4}$, $\tan B = 1$:
$$ \tan \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan^2 x - 1}{1 - \tan^2 x} = -1 $$
Entonces, el $LI$ se simplifica a:
$$ (-1) \cdot \tan x = -\tan x $$

2. Simplificación del lado derecho (LD):
Analizamos el denominador: $\tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}$.
Sabemos que $\cot \alpha - \tan \alpha = 2 \cot 2\alpha$, por lo tanto:
$$ \tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} = -(\cot \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}) = -2 \cot x $$
Sustituimos en el $LD$:
$$ LD = \frac{4 \cos^2 x}{-2 \cot x} = \frac{4 \cos^2 x}{-2 \frac{\cos x}{\sin x}} = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $$

3. Igualación y resolución:
$$ -\tan x = -\sin 2x \implies \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x \cos x $$
$$ \sin x = 2 \sin x \cos^2 x \implies \sin x (1 - 2 \cos^2 x) = 0 $$
Esto genera dos soluciones:

• $\sin x = 0 \implies x = n\pi$
• $1 - 2 \cos^2 x = 0 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Para $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, tenemos $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

4. Verificación de restricciones:
La función $\tan(x \pm \pi/4)$ no está definida si $x = 0$ o $x = \pi/2$. Al revisar los valores, $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ son válidos.

Resultado final:
$$ \boxed{x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}} $$