1. Identificación de datos y condiciones:
Para que la ecuación esté definida en los reales, las expresiones dentro de las raíces deben ser no negativas:

• $\cos 2x \ge 0$
• $1 + \sin 2x \ge 0$ (siempre se cumple pues $\sin 2x \ge -1$)
• $\sin x + \cos x \ge 0$

2. Propiedades y fórmulas a utilizar:

• Identidad del ángulo doble: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$
• Identidad pitagórica y ángulo doble: $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las identidades en la ecuación original:
$$ \sqrt{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} + \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = 2 \sqrt{\sin x + \cos x} $$

Dado que $\sin x + \cos x \ge 0$, podemos escribir $\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$. La ecuación queda:
$$ \sqrt{\cos x - \sin x} \cdot \sqrt{\cos x + \sin x} + (\sin x + \cos x) = 2 \sqrt{\sin x + \cos x} $$

Factorizamos el término común $\sqrt{\sin x + \cos x}$:
$$ \sqrt{\sin x + \cos x} \left( \sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} - 2 \right) = 0 $$

Esto nos da dos casos:
Caso A: $\sqrt{\sin x + \cos x} = 0$
$$ \sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = n\pi - \frac{\pi}{4} $$

Caso B: $\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} = 2$
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$$ (\cos x - \sin x) + (\sin x + \cos x) + 2\sqrt{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = 4 $$
$$ 2\cos x + 2\sqrt{\cos 2x} = 4 \implies \cos x + \sqrt{\cos 2x} = 2 $$
Dado que el valor máximo de $\cos x$ es 1 y el de $\sqrt{\cos 2x}$ es 1, la única forma de que sumen 2 es que ambos sean simultáneamente 1:
$$ \cos x = 1 \implies x = 2n\pi $$
$$ \sqrt{\cos 2x} = 1 \implies \cos(2(2n\pi)) = \cos(4n\pi) = 1 \text{ (se cumple)} $$

4. Conclusión:
Las soluciones generales son:
$$ \boxed{x = 2n\pi; \quad x = n\pi - \frac{\pi}{4}} $$