1. Análisis de la ecuación:
Despejamos el radical:
$$ \sqrt{\sin^2 x - 2 \sin 2x + 4 \cos^2 x} = -\cos x $$
Para que la ecuación tenga solución real, el lado derecho debe ser no negativo:
$-\cos x \geq 0 \implies \cos x \leq 0$.
Esto significa que $x$ debe pertenecer al II o III cuadrante.

2. Elevación al cuadrado:
$$ \sin^2 x - 2 \sin 2x + 4 \cos^2 x = (-\cos x)^2 $$
$$ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = \cos^2 x $$
Simplificando:
$$ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0 $$

3. Transformación a tangente:
Dividimos por $\cos^2 x$:
$$ \tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0 $$
Factorizamos:
$$ (\tan x - 3)(\tan x - 1) = 0 $$
Obtenemos:

1. $\tan x = 3$
2. $\tan x = 1$

4. Selección de cuadrantes ($\cos x \leq 0$):

• Si $\tan x = 3$ y el coseno es negativo, $x$ está en el III cuadrante: $x = \pi + \arctan(3) + 2k\pi$.
• Si $\tan x = 1$ y el coseno es negativo, $x$ está en el III cuadrante: $x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$.

$$ \boxed{x = (2k+1)\pi + \arctan(3), \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{4}} $$