1. Datos y simplificación inicial:
La ecuación es equivalente a:
$$ \sqrt{3} \sin x = \sqrt{2 \sin^2 x - \sin 2x + 3 \cos^2 x} $$
Para que exista solución, debe cumplirse que $\sqrt{3} \sin x \geq 0$, es decir, $\sin x \geq 0$. Esto ubica a $x$ en el I o II cuadrante.

2. Desarrollo algebraico:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$ 3 \sin^2 x = 2 \sin^2 x - \sin 2x + 3 \cos^2 x $$
Restamos $2 \sin^2 x$ en ambos lados:
$$ \sin^2 x = 3 \cos^2 x - \sin 2x $$
Usamos la identidad del ángulo doble $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$$ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$

3. Resolución de la ecuación homogénea:
Dividimos toda la ecuación por $\cos^2 x$ (asumiendo $\cos x \neq 0$):
$$ \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0 $$
Factorizamos el trinomio:
$$ (\tan x + 3)(\tan x - 1) = 0 $$
Esto nos da dos posibles valores para la tangente:

1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$
2. $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + k\pi$

4. Verificación de la condición $\sin x \geq 0$:

• Para $\tan x = 1$: En el primer cuadrante $\sin x > 0$. Entonces $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$.
• Para $\tan x = -3$: En el segundo cuadrante $\sin x > 0$. Entonces $x = \pi - \arctan(3) + 2k\pi$.

$$ \boxed{x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}, \quad x = 2k\pi + \pi - \arctan(3)} $$