1. Datos y restricciones del problema:
Para que las raíces cuadradas estén definidas en el conjunto de los números reales, debemos garantizar que los radicandos sean no negativos. Además, por las funciones trigonométricas presentes:

• $\tan x$ definida: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
• $\cot x$ definida: $x \neq k\pi$
• $1 - 2 \tan x \geq 0 \implies \tan x \leq \frac{1}{2}$
• $1 + 2 \cot x \geq 0 \implies \cot x \geq -\frac{1}{2}$

2. Transformación de la ecuación:
Expresamos la cotangente en términos de la tangente: $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Sea $u = \tan x$:
$$ \sqrt{1 - 2u} - \sqrt{1 + \frac{2}{u}} = 2 $$
$$ \sqrt{1 - 2u} - \sqrt{\frac{u + 2}{u}} = 2 $$

Aislamos una raíz para elevar al cuadrado:
$$ \sqrt{1 - 2u} = 2 + \sqrt{\frac{u + 2}{u}} $$
Elevando ambos miembros al cuadrado:
$$ 1 - 2u = 4 + 4\sqrt{\frac{u + 2}{u}} + \frac{u + 2}{u} $$
$$ 1 - 2u - 4 - \frac{u + 2}{u} = 4\sqrt{\frac{u + 2}{u}} $$
$$ -3 - 2u - \frac{u + 2}{u} = 4\sqrt{\frac{u + 2}{u}} $$
$$ \frac{-3u - 2u^2 - u - 2}{u} = 4\sqrt{\frac{u + 2}{u}} $$
$$ \frac{-2u^2 - 4u - 2}{u} = 4\sqrt{\frac{u + 2}{u}} $$
$$ \frac{-2(u^2 + 2u + 1)}{u} = 4\sqrt{\frac{u + 2}{u}} \implies \frac{-(u+1)^2}{2u} = \sqrt{\frac{u + 2}{u}} $$

3. Resolución algebraica:
Para que la raíz sea igual a una expresión, esta última debe ser positiva: $\frac{-(u+1)^2}{2u} \geq 0$. Como $(u+1)^2 \geq 0$, esto implica que $u < 0$.
Elevamos nuevamente al cuadrado:
$$ \frac{(u+1)^4}{4u^2} = \frac{u + 2}{u} $$
$$ (u+1)^4 = 4u(u + 2) $$
$$ u^4 + 4u^3 + 6u^2 + 4u + 1 = 4u^2 + 8u $$
$$ u^4 + 4u^3 + 2u^2 - 4u + 1 = 0 $$

Esta es una ecuación recíproca. Dividiendo por $u^2$:
$$ u^2 + 4u + 2 - \frac{4}{u} + \frac{1}{u^2} = 0 $$
$$ \left( u^2 + \frac{1}{u^2} \right) + 4\left( u - \frac{1}{u} \right) + 2 = 0 $$
Sea $v = u - \frac{1}{u}$, entonces $v^2 = u^2 - 2 + \frac{1}{u^2} \implies u^2 + \frac{1}{u^2} = v^2 + 2$:
$$ (v^2 + 2) + 4v + 2 = 0 \implies v^2 + 4v + 4 = 0 \implies (v + 2)^2 = 0 $$
Por lo tanto, $v = -2$.

4. Cálculo de x:
Regresando a $u$:
$$ u - \frac{1}{u} = -2 \implies u^2 + 2u - 1 = 0 $$
Usando la fórmula general:
$$ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$
Como debíamos cumplir $u < 0$ y las restricciones iniciales, verificamos:
$u_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$ (Positivo, se descarta por la condición de la elevación al cuadrado).
$u_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$ (Negativo, cumple).

Si $\tan x = -(1 + \sqrt{2})$, esto corresponde a $x = \frac{5\pi}{8}$ o $x = -\frac{3\pi}{8}$.
$$ \boxed{x = n\pi - \frac{3\pi}{8}, n \in \mathbb{Z}} $$