1. Datos y análisis:
Sea $A = \cos^2 x + 1/2$ y $B = \sin^2 x + 1/2$.
Notemos que $A + B = \cos^2 x + \sin^2 x + 1 = 1 + 1 = 2$.

2. Desarrollo:
Tenemos el sistema:
1) $\sqrt{A} + \sqrt{B} = 2$
2) $A + B = 2$

Elevamos al cuadrado la primera ecuación:
$$ (\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = 4 $$
$$ A + B + 2\sqrt{AB} = 4 $$
Sustituimos $A + B = 2$:
$$ 2 + 2\sqrt{AB} = 4 \Rightarrow 2\sqrt{AB} = 2 \Rightarrow AB = 1 $$

Ahora tenemos:
$$ A + B = 2 \quad \text{y} \quad AB = 1 $$
Esto corresponde a una ecuación cuadrática $t^2 - 2t + 1 = 0$, cuya solución es $t = 1$. Por lo tanto:
$$ A = 1 \quad \text{y} \quad B = 1 $$

Sustituimos de vuelta:
$$ \cos^2 x + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2} $$
$$ \sin^2 x + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{2} $$

Esto ocurre cuando $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, lo cual corresponde a los ángulos de $45^\circ$ en todos los cuadrantes.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}} $$