1. Formulas útiles:

• $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$


• $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$


• $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$

2. Desarrollo:
Sustituimos $1 + \cos x$ y reordenamos:
$$ 2 \cos^2 \frac{x}{2} \sqrt{\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 (1 + \cos x) $$
$$ 2 \cos^2 \frac{x}{2} \frac{\sqrt{\sin(x/2)}}{\sqrt{\cos(x/2)}} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 4 \cos^2 \frac{x}{2} $$

Dividimos entre $2 \cos \frac{x}{2}$ (asumiendo $\cos \frac{x}{2} \neq 0$):
$$ \cos \frac{x}{2} \frac{\sqrt{\sin(x/2)}}{\sqrt{\cos(x/2)}} + \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2} $$
$$ \sqrt{\cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}} + \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2} $$

Sea $u = \sqrt{\tan \frac{x}{2}}$, dividiendo la ecuación anterior por $\cos \frac{x}{2}$:
$$ \sqrt{\tan \frac{x}{2}} + \tan \frac{x}{2} = 2 \Rightarrow u + u^2 = 2 $$
$$ u^2 + u - 2 = 0 \Rightarrow (u+2)(u-1) = 0 $$
Como $u$ es una raíz cuadrada, $u \geq 0$, entonces $u = 1$.
$$ \sqrt{\tan \frac{x}{2}} = 1 \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = 1 $$
$$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$