1. Datos y propiedades:

• Identidad: $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.


• Identidad pitagórica: $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.


• $\cot x = \frac{1}{\tan x}$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las identidades en el lado derecho:
$$ \tan x + \frac{1}{9 \tan x} = \sqrt{\tan^2 x} - 1 $$
$$ \tan x + \frac{1}{9 \tan x} = |\tan x| - 1 $$

Caso 1: $\tan x > 0$
$$ \tan x + \frac{1}{9 \tan x} = \tan x - 1 $$
$$ \frac{1}{9 \tan x} = -1 \Rightarrow \tan x = -\frac{1}{9} $$
Contradicción, ya que asumimos $\tan x > 0$.

Caso 2: $\tan x < 0$
$$ \tan x + \frac{1}{9 \tan x} = -\tan x - 1 $$
$$ 2 \tan x + \frac{1}{9 \tan x} + 1 = 0 $$
Multiplicamos por $9 \tan x$:
$$ 18 \tan^2 x + 9 \tan x + 1 = 0 $$
Factorizamos la ecuación cuadrática:
$$ (6 \tan x + 1)(3 \tan x + 1) = 0 $$
Obtenemos dos posibles valores:
1) $\tan x = -\frac{1}{6}$
2) $\tan x = -\frac{1}{3}$

Ambos valores son negativos, cumpliendo con la condición del Caso 2.

3. Resultado final:
$$ \boxed{x = \arctan\left(-\frac{1}{6}\right) + k\pi, \quad x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi} $$