1. Datos y análisis inicial:
La ecuación presenta una raíz cuadrada. Para que esté definida en los números reales, el radicando debe ser mayor o igual a cero:
$$ -3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 \geq 0 $$

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad fundamental: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.


• Rango de la función seno: $-1 \leq \sin \theta \leq 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, despejamos la raíz:
$$ \sqrt{-3 \sin 5x - \cos^2 x - 3} = 1 - \sin x $$

Analizamos el radicando para determinar la existencia de soluciones:
$$ -3 \sin 5x - (1 - \sin^2 x) - 3 \geq 0 $$
$$ -3 \sin 5x - 1 + \sin^2 x - 3 \geq 0 $$
$$ \sin^2 x - 3 \sin 5x - 4 \geq 0 $$

Dado que $-1 \leq \sin^2 x \leq 1$ y $-3 \leq -3 \sin 5x \leq 3$, el valor máximo que puede tomar la expresión $\sin^2 x - 3 \sin 5x - 4$ es:
$$ 1 + 3 - 4 = 0 $$
Para que la inecuación se cumpla, la única posibilidad es que la expresión sea exactamente igual a $0$. Esto ocurre simultáneamente cuando:
1) $\sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = 1$ o $\sin x = -1$.
2) $\sin 5x = -1$.

Si $\sin x = 1$, entonces el lado derecho de la ecuación original $1 - \sin x$ se hace $0$. La raíz también es $0$, por lo que la igualdad $0 = 0$ se cumple.
Si $\sin x = -1$, el lado derecho es $1 - (-1) = 2$, pero la raíz es $0$, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, buscamos los valores de $x$ tales que $\sin x = 1$:
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Verificamos si estos valores cumplen $\sin 5x = -1$:
$$ \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10k\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$
Como $1 \neq -1$, no hay valores de $x$ que satisfagan ambas condiciones de la raíz real.

4. Conclusión:
La expresión dentro de la raíz siempre es negativa (excepto en un caso que no coincide con la solución exterior), por lo tanto, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

$$ \boxed{\emptyset} $$