1. Datos y restricciones:
Sea $u = \tan x$.

• Condición de existencia: $3 + 2u - u^2 \geq 0 \implies u^2 - 2u - 3 \leq 0 \implies (u-3)(u+1) \leq 0 \implies -1 \leq u \leq 3$.


• Condición de signo: $\frac{1 + 3u}{2} \geq 0 \implies u \geq -\frac{1}{3}$.

Intersecando ambas: $-\frac{1}{3} \leq \tan x \leq 3$.

2. Desarrollo:
Elevamos al cuadrado:
$$ 3 + 2u - u^2 = \left(\frac{1 + 3u}{2}\right)^2 $$
$$ 3 + 2u - u^2 = \frac{1 + 6u + 9u^2}{4} $$
$$ 12 + 8u - 4u^2 = 1 + 6u + 9u^2 $$
$$ 13u^2 - 2u - 11 = 0 $$

3. Factorización de la cuadrática:
Podemos notar que la suma de coeficientes $13 - 2 - 11 = 0$, por lo tanto $u = 1$ es una raíz.
$$ (u - 1)(13u + 11) = 0 $$
Las raíces son $u_1 = 1$ y $u_2 = -\frac{11}{13}$.

4. Verificación de condiciones:
Habíamos determinado que $u \geq -\frac{1}{3} \approx -0.33$.

• $u_1 = 1$ es válido.


• $u_2 = -0.846$ no es válido.

5. Resolución para $x$:
$\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}} $$