1. Restricciones:
El lado derecho debe ser no negativo: $\frac{1}{2} + 3\cos x \geq 0 \implies \cos x \geq -\frac{1}{6}$.

2. Eliminación de la raíz:
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$$ 2 + 4\cos x = \left(\frac{1}{2} + 3\cos x\right)^2 $$
$$ 2 + 4\cos x = \frac{1}{4} + 3\cos x + 9\cos^2 x $$
Multiplicamos todo por 4 para eliminar fracciones:
$$ 8 + 16\cos x = 1 + 12\cos x + 36\cos^2 x $$
Reordenamos a la forma $ax^2 + bx + c = 0$:
$$ 36\cos^2 x - 4\cos x - 7 = 0 $$

3. Resolución de la cuadrática:
Usamos la fórmula cuadrática para $u = \cos x$:
$$ u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(36)(-7)}}{72} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1008}}{72} $$
$$ u = \frac{4 \pm \sqrt{1024}}{72} = \frac{4 \pm 32}{72} $$
Valores de $u$:

• $u_1 = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$


• $u_2 = \frac{-28}{72} = -\frac{7}{18}$

4. Verificación:
$\cos x \geq -\frac{1}{6} \approx -0.166$.

• $u_1 = 0.5$ cumple.


• $u_2 = -0.388$ no cumple pues $-0.388 < -0.166$.

5. Ángulos finales:
$\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

$$ \boxed{x = \pm 60^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}} $$