1. Restricciones:
Para que la raíz cuadrada sea real y la igualdad tenga sentido:

• $5 - 2\sin x \geq 0 \implies \sin x \leq 2.5$ (Siempre se cumple).


• $6\sin x - 1 \geq 0 \implies \sin x \geq \frac{1}{6}$.

2. Desarrollo algebraico:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$ 5 - 2\sin x = (6\sin x - 1)^2 $$
$$ 5 - 2\sin x = 36\sin^2 x - 12\sin x + 1 $$
Transponemos términos para igualar a cero:
$$ 36\sin^2 x - 10\sin x - 4 = 0 $$
Simplificamos dividiendo entre 2:
$$ 18\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0 $$

3. Resolución de la ecuación cuadrática:
Sea $u = \sin x$. Aplicamos la fórmula general:
$$ u = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(18)(-2)}}{2(18)} $$
$$ u = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{36} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{36} = \frac{5 \pm 13}{36} $$
Obtenemos dos valores:

• $u_1 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$


• $u_2 = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9}$

4. Verificación con restricciones:
Habíamos establecido que $\sin x \geq \frac{1}{6}$.

• $u_1 = 0.5$ es mayor que $0.166...$ (Válido).


• $u_2 = -0.222...$ es menor que $0.166...$ (No válido).

5. Solución final:
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$.
Las soluciones básicas son $x = 30^\circ$ y $x = 150^\circ$.

$$ \boxed{x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}} $$