1. Datos y Restricciones:
Para que las funciones estén definidas:

• $\sin x \neq 0 \implies x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.


• Esto garantiza que $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ también exista.

2. Análisis por casos del valor absoluto:
Recordamos que $|a| = a$ si $a \geq 0$ y $|a| = -a$ si $a < 0$.

Caso 1: $\cot x \geq 0$
Si $\cot x$ es no negativa, la ecuación se convierte en:
$$ \cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x} \implies 0 = \frac{1}{\sin x} $$
Esta ecuación no tiene solución, ya que una fracción con numerador constante igual a 1 nunca puede ser cero.

Caso 2: $\cot x < 0$
Si $\cot x$ es negativa, la ecuación se convierte en:
$$ -\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x} $$
Agrupamos los términos de la cotangente:
$$ -2\cot x = \frac{1}{\sin x} $$
Sustituimos $\cot x$ por su definición en términos de seno y coseno:
$$ -2 \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} $$
Como $\sin x \neq 0$, podemos multiplicar ambos miembros por $\sin x$:
$$ -2\cos x = 1 \implies \cos x = -\frac{1}{2} $$

3. Determinación del ángulo:
Para $\cos x = -\frac{1}{2}$, las soluciones generales son:
$$ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi $$
Debemos verificar la condición del Caso 2 ($\cot x < 0$):

• Si $x = \frac{2\pi}{3}$ (II cuadrante), $\cot x$ es negativa. Cumple.


• Si $x = \frac{4\pi}{3}$ (III cuadrante), $\cot x$ es positiva. No cumple.

4. Resultado:
La solución en el primer ciclo es $x = \frac{2\pi}{3}$.

$$ \boxed{x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}} $$