1. Datos: Ecuación que mezcla potencias de $x$ y $2x$.
2. Desarrollo:
Usamos la expresión derivada en el ejercicio anterior:
$$ \sin^{10} x + \cos^{10} x = 1 - \frac{5}{4}\sin^2 2x + \frac{5}{16}\sin^4 2x $$
Sustituimos en la ecuación:
$$ 1 - \frac{5}{4}\sin^2 2x + \frac{5}{16}\sin^4 2x = \frac{29}{16} \cos^4 2x $$
Sea $c = \cos^2 2x$, entonces $\sin^2 2x = 1 - c$.
$$ 1 - \frac{5}{4}(1-c) + \frac{5}{16}(1-c)^2 = \frac{29}{16} c^2 $$
Multiplicamos todo por 16:
$$ 16 - 20(1-c) + 5(1 - 2c + c^2) = 29c^2 $$
$$ 16 - 20 + 20c + 5 - 10c + 5c^2 = 29c^2 $$
$$ 24c^2 - 10c - 1 = 0 $$
Factorizando:
$$ (12c + 1)(2c - 1) = 0 $$
De aquí $c = -1/12$ (no posible para $\cos^2$) o $c = 1/2$.
Si $\cos^2 2x = \frac{1}{2} \implies \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} \implies \cos 4x = 0$.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}} $$