1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica con potencias pares elevadas (grado 10).

2. Formulas:
Utilizamos la degradación de potencias:
$\sin^{10} x + \cos^{10} x = \frac{1}{128}(\cos 10x + 25 \cos 6x + 150 \cos 2x)$ no es tan eficiente como usar $\sin^2 x = S, \cos^2 x = C$.
$S^5 + C^5 = (S+C)(S^4 - S^3C + S^2C^2 - SC^3 + C^4)$. Como $S+C=1$:
$$ S^5 + C^5 = (S^2+C^2)^2 - 2S^2C^2 - SC(S^2+C^2) + S^2C^2 = 1 - 2S^2C^2 - SC + S^2C^2 = 1 - SC - S^2C^2 $$
Esto es incorrecto, la expansión correcta de $S^5+C^5$ con $S+C=1$ es:
$$ \sin^{10}x + \cos^{10}x = 1 - 5\sin^2x\cos^2x + 5\sin^4x\cos^4x $$
Sea $u = \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$.
$$ 1 - 5u + 5u^2 = \frac{29}{64} $$

3. Desarrollo:
$$ 5u^2 - 5u + \left(1 - \frac{29}{64}\right) = 0 \implies 5u^2 - 5u + \frac{35}{64} = 0 $$
Dividiendo entre 5:
$$ u^2 - u + \frac{7}{64} = 0 $$
Resolviendo para $u$:
$$ u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(7/64)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 28/64}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{36/64}}{2} = \frac{1 \pm 6/8}{2} $$
$$ u_1 = \frac{1 + 3/4}{2} = \frac{7}{8}, \quad u_2 = \frac{1 - 3/4}{2} = \frac{1}{8} $$
Como $u = \frac{1}{4}\sin^2 2x$, entonces $\sin^2 2x = 4u$.
Para $u_1$: $\sin^2 2x = 4(7/8) = 3.5$ (Imposible).
Para $u_2$: $\sin^2 2x = 4(1/8) = \frac{1}{2}$.
Si $\sin^2 2x = \frac{1}{2}$, entonces $\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} \implies \cos 4x = 0$.

4. Resultado:
$$ 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} $$
$$ \boxed{x = \frac{(2k+1)\pi}{8}} $$