1. Desarrollo:
Sabemos que $\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}$.
$$ 2(1 - (\sin x + \cos x)) + \frac{1}{\sin x \cos x} = 0 $$

Hacemos el cambio de variable $s = \sin x + \cos x$.
Elevando al cuadrado: $s^2 = 1 + 2\sin x \cos x \implies \sin x \cos x = \frac{s^2 - 1}{2}$.
Sustituyendo:
$$ 2(1 - s) + \frac{1}{\frac{s^2 - 1}{2}} = 0 \implies 2(1 - s) + \frac{2}{s^2 - 1} = 0 $$
$$ 2(1 - s) + \frac{2}{(s-1)(s+1)} = 0 $$

Factorizando $2(s-1)$:
$$ -2(s-1) + \frac{2}{(s-1)(s+1)} = 0 \implies \frac{-2(s-1)^2(s+1) + 2}{(s-1)(s+1)} = 0 $$
Para que la fracción sea cero, el numerador debe ser cero y $s \neq 1, s \neq -1$.
$$ -2(s^2 - 2s + 1)(s+1) + 2 = 0 $$
$$ -(s^3 + s^2 - 2s^2 - 2s + s + 1) + 1 = 0 \implies -s^3 + s^2 + s = 0 $$
$$ s(-s^2 + s + 1) = 0 $$
Como $s = \sin x + \cos x$, $s=0$ implica $\tan x = -1 \implies x = k\pi - \pi/4$.
Las otras raíces de $-s^2+s+1=0$ son $s = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Solo $s = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ es válida pues $|s| \leq \sqrt{2}$.

2. Resultado:
$$ \boxed{x = k\pi - \frac{\pi}{4}} $$