1. Datos del problema y propiedades:
Se nos presenta una ecuación que involucra una potencia sexta del coseno y el coseno de un ángulo múltiple ($6x$). Utilizaremos la fórmula de degradación para $\cos^6 x$ o la expansión de $\cos 6x$.

Propiedad de degradación de potencias:
$$ \cos^6 x = \frac{1}{32} (\cos 6x + 6 \cos 4x + 15 \cos 2x + 10) $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad de $\cos^6 x$ en la ecuación original:
$$ 32 \left[ \frac{1}{32} (\cos 6x + 6 \cos 4x + 15 \cos 2x + 10) \right] - \cos 6x = 1 $$

Simplificando el coeficiente $32$:
$$ \cos 6x + 6 \cos 4x + 15 \cos 2x + 10 - \cos 6x = 1 $$

Observamos que los términos $\cos 6x$ se cancelan:
$$ 6 \cos 4x + 15 \cos 2x + 9 = 0 $$

Dividimos toda la ecuación entre $3$ para simplificar:
$$ 2 \cos 4x + 5 \cos 2x + 3 = 0 $$

Expresamos $\cos 4x$ en términos de $\cos 2x$ usando la identidad del ángulo doble $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$:
$$ 2 (2 \cos^2 2x - 1) + 5 \cos 2x + 3 = 0 $$
$$ 4 \cos^2 2x - 2 + 5 \cos 2x + 3 = 0 $$
$$ 4 \cos^2 2x + 5 \cos 2x + 1 = 0 $$

Esta es una ecuación cuadrática en términos de $u = \cos 2x$:
$$ 4u^2 + 5u + 1 = 0 $$
Factorizando por el método de aspa simple:
$$ (4u + 1)(u + 1) = 0 $$

Esto nos da dos posibles casos:

• Caso 1: $\cos 2x = -1$
  $$ 2x = (2k + 1)\pi \implies x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} $$
• Caso 2: $\cos 2x = -1/4$
  $$ 2x = 2k\pi \pm \arccos(-1/4) \implies x = k\pi \pm \frac{1}{2}\arccos(-1/4) $$

3. Conclusión:
Las soluciones generales para $x$ son:
$$ \boxed{x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} \quad \text{y} \quad x = k\pi \pm \frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right), \quad k \in \mathbb{Z}} $$