1. Datos del problema:
Ecuación con argumentos distintos:
$$ \cos \frac{4x}{3} = \cos^2 x $$

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad de degradación: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
• Identidad de suma a producto: $\cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el término cuadrático:
$$ \cos \frac{4x}{3} = \frac{1 + \cos 2x}{2} \implies 2\cos \frac{4x}{3} - 1 = \cos 2x $$
Usamos la identidad $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ con $\theta = \frac{2x}{3}$:
$$ 2(2\cos^2 \frac{2x}{3} - 1) - 1 = \cos 2x \implies 4\cos^2 \frac{2x}{3} - 3 = \cos 2x $$
Recordamos la identidad del triple ángulo: $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$. Si dividimos por $\cos \alpha$:
$$ \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} = 4\cos^2 \alpha - 3 $$
Sea $\alpha = \frac{2x}{3}$, entonces $3\alpha = 2x$. Sustituyendo:
$$ \frac{\cos 2x}{\cos \frac{2x}{3}} = \cos 2x $$
Esto genera dos casos:
Caso A: $\cos 2x = 0$
$$ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $$
Caso B: $\frac{1}{\cos \frac{2x}{3}} = 1 \implies \cos \frac{2x}{3} = 1$
$$ \frac{2x}{3} = 2k\pi \implies x = 3k\pi $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4}(2k+1) \quad \text{o} \quad x = 3k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$