1. Datos del problema:
La ecuación involucra series geométricas infinitas en ambos términos del numerador y denominador del lado izquierdo.
$$ \frac{\sum_{n=0}^{\infty} (-\sin x)^n}{\sum_{n=0}^{\infty} (\sin x)^n} = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} $$

2. Fórmulas y propiedades:

• Suma de serie geométrica infinita: $S = \frac{a}{1-r}$, válida si $|r| < 1$.
• Identidades de ángulo doble: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ y $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para que las series converjan, requerimos $|\sin x| < 1$, lo que excluye $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Numerador izquierdo: $a=1, r=-\sin x \implies S_1 = \frac{1}{1+\sin x}$.
Denominador izquierdo: $a=1, r=\sin x \implies S_2 = \frac{1}{1-\sin x}$.
Sustituyendo en la ecuación:
$$ \frac{\frac{1}{1+\sin x}}{\frac{1}{1-\sin x}} = \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} \implies \frac{1-\sin x}{1+\sin x} = \tan^2 x $$
Usando $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$:
$$ \frac{1-\sin x}{1+\sin x} = \frac{\sin^2 x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} $$
Multiplicando por $(1+\sin x)$ (sabiendo que $\sin x \neq -1$):
$$ 1 - \sin x = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin x} \implies (1 - \sin x)^2 = \sin^2 x $$
Desarrollando:
$$ 1 - 2\sin x + \sin^2 x = \sin^2 x \implies 1 - 2\sin x = 0 $$
$$ \sin x = \frac{1}{2} $$
Los valores de $x$ en el primer ciclo son $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$