1. Datos del problema:
Ecuación que mezcla seno de ángulo doble y tangente de un desplazamiento.

2. Fórmulas usadas:
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ y $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $t = \tan x$. Entonces $\tan(x - \pi/4) = \frac{t-1}{1+t}$.
La ecuación queda:
$$ 4 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - \left( \frac{t-1}{t+1} \right)^2 = 4 $$
Multiplicamos por $(1+t^2)(t+1)^2$:
$$ 8t(t+1)^2 - (t-1)^2(1+t^2) = 4(1+t^2)(t+1)^2 $$
Desarrollando y simplificando (proceso algebraico extenso):
Esta ecuación se cumple si el término de la izquierda alcanza su valor máximo. Notemos que $\sin 2x \leq 1$, por lo que $4\sin 2x \leq 4$. Como $\tan^2 \theta \geq 0$, para que la resta sea 4, se requiere obligatoriamente que:
$\sin 2x = 1$ y $\tan^2(x - \pi/4) = 0$.
De $\sin 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.
Verificamos en el segundo término: $\tan^2(\frac{\pi}{4} + k\pi - \frac{\pi}{4}) = \tan^2(k\pi) = 0$.
Ambas condiciones se satisfacen simultáneamente.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$