1. Datos del problema:
Ecuación con términos en $x/2$ y $x$. Utilizaremos la identidad del ángulo doble para expresar todo en términos de $x/2$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Ángulo doble: $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.
• Identidad fundamental: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\sin x$:
$$ 4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3 \sqrt{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right) = 8 \cos \frac{x}{2} $$
Agrupamos y factorizamos $2 \cos \frac{x}{2}$:
$$ 2 \cos \frac{x}{2} \left( 2 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 4 \right) = 0 $$
Caso 1: $\cos \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi$.

Caso 2: $2(1 - \sin^2 \frac{x}{2}) + 3 \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 4 = 0$.
Sea $u = \sin \frac{x}{2}$:
$$ -2u^2 + 3\sqrt{2}u - 2 = 0 \implies 2u^2 - 3\sqrt{2}u + 2 = 0 $$
Usando la fórmula cuadrática: $u = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16}}{4} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$.
$u_1 = \sqrt{2}$ (No válida ya que $|\sin \theta| \leq 1$).
$u_2 = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Si $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ o $\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \pi(2k+1); \quad x = \frac{\pi}{2} + 4k\pi; \quad x = \frac{3\pi}{2} + 4k\pi} $$