1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación con términos de diferentes argumentos ($17x$ y $5x$). El objetivo es agrupar los términos de argumento $5x$ para simplificar la expresión.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Transformación de $a \cos \theta + b \sin \theta$ a la forma $R \sin(\theta + \phi)$.
• Identidades de suma a producto: $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$.
• Valores notables: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, trabajamos con la expresión $\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x$. Multiplicamos y dividimos por $2$:
$$ 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x + \frac{1}{2} \sin 5x \right) $$
Sabiendo que $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, sustituimos:
$$ 2 (\sin 60^\circ \cos 5x + \cos 60^\circ \sin 5x) = 2 \sin(5x + 60^\circ) $$
Sustituimos esto en la ecuación original:
$$ 2 \sin 17x + 2 \sin(5x + 60^\circ) = 0 \implies \sin 17x + \sin(5x + 60^\circ) = 0 $$
Aplicamos la fórmula de suma a producto:
$$ 2 \sin\left( \frac{17x + 5x + 60^\circ}{2} \right) \cos\left( \frac{17x - (5x + 60^\circ)}{2} \right) = 0 $$
Simplificando los argumentos:
$$ \sin(11x + 30^\circ) \cos(6x - 30^\circ) = 0 $$
Para que el producto sea cero, uno de los factores debe serlo:

1. $\sin(11x + 30^\circ) = 0 \implies 11x + \frac{\pi}{6} = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{11} - \frac{\pi}{66}$
2. $\cos(6x - 30^\circ) = 0 \implies 6x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 6x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{6}$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x_1 = \frac{k\pi}{11} - \frac{\pi}{66}; \quad x_2 = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})} $$