1. Propiedades
Sea $t = \sin x + \cos x$.
Entonces $t^2 = 1 + \sin 2x$, por lo tanto $\sin 2x = t^2 - 1$.

2. Desarrollo
Sustituimos en la ecuación original:
$$ 5(t^2 - 1) - 11t + 7 = 0 $$
$$ 5t^2 - 5 - 11t + 7 = 0 $$
$$ 5t^2 - 11t + 2 = 0 $$

Usamos la fórmula cuadrática para hallar $t$:
$$ t = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(5)(2)}}{2(5)} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 40}}{10} = \frac{11 \pm 9}{10} $$
Resultados para $t$: $t_1 = 2$ y $t_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

3. Análisis de soluciones

• $t = 2$: $\sin x + \cos x = 2$ es imposible (máximo $\sqrt{2}$).


• $t = \frac{1}{5}$: $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$.

Elevando al cuadrado: $1 + \sin 2x = \frac{1}{25} \implies \sin 2x = -\frac{24}{25}$.

$$ \boxed{x = \frac{1}{2} (-1)^k \arcsin\left(-\frac{24}{25}\right) + \frac{k\pi}{2}} $$